The Scientist and Engineer’s Guide to Digital Signal Processing
By Steven W. Smith, Ph.D.
Непрерывные сигналы могут быть разложены на масштабированные и сдвинутые дельта-функции, как это сделано с дискретными сигналами. Разница в том, что непрерывная дельта-функция намного сложнее и математически абстрактна, чем ее дискретная копия. Вместо определения непрерывной дельта-функции тем, чем она является, мы будем определять ее по характеристикам, которые она имеет.
Мысленный эксперимент покажет, как это работает. Представьте себе электронную схему, состоящую из линейных компонентов, таких как резисторы, конденсаторы и катушки индуктивности. Подключен к входу генератор сигналов, который генерирует различные формы коротких импульсов. Выход схемы подключается к осциллографу, отображая форму сигнала, создаваемую схемой, в ответ на каждый входной импульс. Вопрос, на который мы хотим ответить, заключается в следующем: как форма выходного импульса связана с характеристиками входного импульса? Чтобы упростить исследование, мы будем использовать только входные импульсы, которые намного короче, чем выход. Например, если система реагирует в миллисекундах, мы можем использовать входные импульсы длиной всего несколько микросекунд.
После многих измерений мы приходим к трем выводам: во-первых, форма входного импульса не влияет на форму выходного сигнала. Это проиллюстрировано на фиг.13-1, где различные формы коротких входных импульсов дают точно такую же форму выходного импульса. Во-вторых, форма выходного сигнала полностью определяется характеристиками системы, то есть значением и конфигурацией резисторов, конденсаторов и катушек индуктивности. В-третьих, амплитуда выходного импульса прямо пропорциональна площади входного импульса. Например, выход будет иметь такую же амплитуду для входов: 1 вольт на 1 микросекунду, 10 вольт на 0,1 микросекунды, 1000 вольт на 1 наносекунду и т. Д. Это соотношение также позволяет вводить импульсы с отрицательными областями. Например, представьте себе, что комбинация 2-вольтового импульса длительностью 2 микросекунды быстро сопровождается импульсом -1 вольт длительностью 4 микросекунды. Общая площадь входного сигнала равна нулю, в результате чего выход ничего не делает.
Входные сигналы, которые достаточно кратки, чтобы эти три свойства назывались импульсами. Другими словами, импульс — это любой сигнал, который полностью равен нулю, за исключением короткой вспышки произвольной формы. Например, импульс к СВЧ-передатчику, возможно, должен быть в пикосекундном диапазоне, потому что электроника реагирует в наносекундах. Для сравнения, вулкан, который прорастает в течение многих лет, может быть совершенно хорошим импульсом к геологическим изменениям, которые происходят тысячелетия.
Математики не любят быть ограниченными какой-либо конкретной системой и обычно используют термин импульс для обозначения сигнала, который является достаточно коротким, чтобы быть импульсом для любой возможной системы. То есть сигнал, который бесконечно узкий. Непрерывная дельта-функция является нормированной версией этого типа импульса. В частности, непрерывная дельта-функция математически определяется тремя идеализированными характеристиками: (1) сигнал должен быть бесконечно коротким, (2) импульс должен происходить в нулевое время, и (3) импульс должен иметь площадь единицы.
Поскольку дельта-функция определяется как бесконечно узкая и имеет фиксированную площадь, амплитуда подразумевается бесконечной. Не позволяйте этому беспокоить вас; это совершенно неважно. Поскольку амплитуда является частью формы импульса, вы никогда не столкнетесь с проблемой, когда амплитуда делает любую разницу, бесконечной или нет. Дельта-функция — это математическая конструкция, а не реальный мировой сигнал. Сигналы в реальном мире, которые действуют как дельта-функции, всегда будут иметь конечную длительность и амплитуду.
Как и в дискретном случае, непрерывной дельта-функции задан математический символ: δ (). Аналогично, выход непрерывной системы в ответ на дельта-функцию называется импульсной характеристикой и часто обозначается как: h (). Обратите внимание, что круглые скобки () используются для обозначения непрерывных сигналов по сравнению с скобками [] для дискретных сигналов. Эти обозначения используются в этой книге и в других местах DSP, но не универсальны. Импульсы отображаются на графиках в виде вертикальных стрелок (см. Рис. 13-1d) с длиной стрелки, указывающей площадь импульса.
Чтобы лучше понять импульсы реального мира, загляните в ночное небо на планете и звезду, например, Марс и Сириус. Оба они кажутся примерно одинаковой яркостью и размером с невооруженным глазом. Причина этого сходства не очевидна, так как геометрия просмотра сильно отличается. Марс составляет около 6000 километров в диаметре и 60 миллионов километров от Земли. Для сравнения, Сириус примерно в 300 раз больше и более чем в миллионе раз дальше. Эти размеры должны сделать Марс более чем в три тысячи раз больше, чем Сириус. Как возможно, что они похожи друг на друга?
Эти объекты выглядят одинаково, потому что они достаточно малы, чтобы быть импульсами человеческой визуальной системы. Воспринимаемая форма — это импульсная реакция глаза, а не фактическое изображение звезды или планеты. Это становится очевидным, когда два объекта просматриваются через небольшой телескоп; Марс появляется как тусклый диск, в то время как Сириус все еще выглядит ярким импульсом. Это также причина, по которой звезды мерцают, а планеты нет. Образ звезды достаточно мал, чтобы его можно было ненадолго заблокировать частицами или турбулентность в атмосфере, тогда как более крупное изображение планеты гораздо меньше затронуто.
Источник: hdspguide.com/ch13/1.htm